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ひとつ前へ WWWルートへ mad@mail.wind.ne.jp 二項定理 数理設計研究所 Hal.T 2002/11/01 |
本論は二項定理の説明ではなく、自力で「ずさんな」証明を試みるものなのです。まっとうな証明が必要な方は別の偉い人のページを捜してください。
(A+B)N は N が０、１、２、、、、と増えていくと以下のようになる
| N | (A+B)N |
| 0 | 1 |
| 1 | A+B |
| 2 | A2+2AB+B2 |
| 3 | A3+3A2B+3AB2+B3 |
係数だけ書き出せば
↓となることが手間をいとわなければわかるだろう。問題はNに対して各係数の値がどうなるか？
| N | 係数表示 | 項数 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 1 | 2 |
| 2 | 1 2 1 | 3 |
| 3 | 1 3 3 1 | 4 |
| 4 | 1 4 6 4 1 | 5 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 | 6 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 | 7 |
| 7 | 1 7 21 35 35 21 7 1 | 8 |
項数はN+1になる。ここで左から順に係数番号をつけることにする。N=3では左から3,2,1,0とゼロまで番号に含めるとすれば係数番号はNから始まりゼロに終わることになる。
任意のNの場合に係数をK添え字をMとすれば KM がいくつになるかがわかればよいことになる。毎回計算するのは厄介でくたびれるので、表の周期性より、Nが７の時の係数を知りたいならば、上にあるN=6の２つの係数を足して間に置けば良いらしい。N=6のときはN=5、、以下繰り返すことでわかるだろう。つまり
MがN〜０の間の値を取るとして
K(N)M をN=7のときのM番目の係数とすると
K(N)M = K(N-1)M + K(N-1)M+1 MがN〜１の間の値を取るとして 【例外 K(N)0 = 1】
では K(N-1)M は
K(N-1)M = K(N-2)M + K(N-2)M+1 MがN-1〜１の間の値を取るとして 【例外 K(N-1)0 = 1】
さらに K(N-2)M は
K(N-2)M = K(N-3)M + K(N-3)M+1 MがN-2〜１の間の値を取るとして 【例外 K(N-2)0 = 1】
ここまででいいから代入してみよう
K(N)M = K(N-1)M + K(N-1)M+1 MがN〜１の間の値を取るとして 【例外 K(N)0 = 1】
K(N)M = K(N-2)M + K(N-2)M+1 + K(N-2)M+1 + K(N-2)M+2
K(N)M = K(N-2)M + 2K(N-2)M+1 + K(N-2)M+2
K(N)M = K(N-3)M + K(N-3)M+1 + 2（K(N-3)M+1 + K(N-3)M+2） + K(N-3)M+2 + K(N-3)M+3
K(N)M = K(N-3)M + 3K(N-3)M+1 + 3K(N-3)M+2 + K(N-3)M+3
結局何の事は無い、またもや同じ三角構造をとることになる