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DFT（離散フーリエ変換）の特徴

数理設計研究所　玉置晴朗　2002/04/07-2004/12/13

 Index

実数波形データをDFTしたときの意味

項の説明　実数値→３２点FFT　K=32

項番号 単純バタフライ、係数無しDFT 　
0 ３２点実数の全加算値＝ＤＣ成分 　 項番号 　　
1 スペクトル１ ←の共役 31 それぞれスペクトル振幅の５０％
2 スペクトル２ ←の共役 30 それぞれスペクトル振幅の５０％
3 スペクトル３ ←の共役 ... それぞれスペクトル振幅の５０％
... .... ←の共役 17 それぞれスペクトル振幅の５０％
16 スペクトル１６ ←の共役 16 スペクトル１６が遇関数のときに値があり１００％値
説明：
　K=32でDFTすると
  • 項番号０　は直流成分で対になるものが無いのでDC成分の１００％値
  • 項番号１〜１５　まではその周波数スペクトルの振幅の５０％が得られる。値は１と３１、２と３０の組で共役表現されるので逆DFTすると元の波形が得られる。
    • 考え方１：ナイキスト周波数の上側が折り返して見えていて、両方に値が分配するから５０％
  • 項番号１６　は対になる部分が無いので周波数スペクトルの１００％値になる。ただし仮想的に共役になるものと加算されるので奇関数では加算結果がゼロになる。

基本矩形波の実例　実数値→３２点FFT　0-15=1、16-31=-1

項番号 単純バタフライ、係数無しDFT 　
0 0 　 　 　
1 2.000-20.306i 2.000+20.306i 31 　
2 0 0 30 　
3 2.000-6.593i 2.000+6.593i ... 　
... .... ←の共役 17 　
16 0.000+0.000i 0.000+0.000i 16 スペクトル１６が奇関数なので零

DFT中央項の意味　実数値→３２点FFT

項番号 単純バタフライ、係数無しDFT 　
0 0 0 　 　
1 0 0 31 　
2 0 0 30 　
3 0 0 ... 　
... .... ←の共役 17 　
16 32 32 16 スペクトル１６が遇関数なので値がある

MATHCAD８の関数

CFFT ICFFT 任意個数、または２次元
fft ifft 2^mの実数
FFT IFFT 2^mの実数

自己相関　Self correlation

元信号 x(t)　→　DFT結果を S(f)　とすれば、自己相関は
S(f)に共役を乗算して逆フーリエ変換したものとなる　→　 RF[S(f)*conj(S(f))]
★自己相関値は実数になる

相互相関　Mutual correlation

自己相関に準じる
★相関値は実数になる

窓関数

name 名前 C関数表現
Rectangle 矩形 なし
Triangle 三角 for(i=0, j = FFT_N/2; i < FFT_N/2; i++)　Mask_d[i+j] = 1.0-(Mask_d[i] = (double)i/j);
Sine 正弦 for(int i=0; i < FFT_N; i++) Mask_d[i] = sin(PI*(double)i/FFT_N);
Hunning ハニング for(int i=0; i < FFT_N; i++) Mask_d[i] = 0.54-0.46*cos(2.0*PI*(double)i/FFT_N);
Humming ハミング for(int i=0; i < FFT_N; i++) Mask_d[i] = 0.5-0.5*cos(2.0*PI*(double)i/FFT_N);

..end